{lang=EN}JSXGraph Book{/lang}{lang=SI}Knjiga o JSXGraphu{/lang}{lang=CZ}Příručka JSXGraph{/lang}{lang=DE}JSXGraph-Buch{/lang}

{lang=EN}

Example

Harmonic conjugate points. Given three collinear points A, B and C; C being outside the line segment AB. Determine the point D of the segment AB so that the ratio of its distances to A and B, respectively, is equal to the ratio of distances of the point C to points A and B, respectively, i.e. |AD|/|BD|=|AC|/|BC|.

This point D is called the harmonic conjugate of C with respect to A and B and points A, B, C and D together form the so called harmonic quadruple. {/lang}

{lang=CZ}

Příklad

Harmonická čtveřice bodů. Jsou dány tři kolineární body A, B a C; C leží vně úsečky AB. Určete bod D úsečky AB takový, že poměr jeho vzdáleností od bodů A a B, v daném pořadí, je roven poměru vzdáleností bodu C od bodů A a B, tj. |AD|/|BD|=|AC|/|BC|.

Bod D potom nazýváme harmonicky sdružený s bodem C vzhledem k bodům A a B, takové body A, B, C a D potom společně vytváří tzv. harmonickou čtveřici. {/lang}

{lang=SI}

Primer

Harmonično konjugirane točke. Naj bodo podane tri kolinearne točke A, B in C, kjer se C nahaja izven daljice AB. Določimo točko D na daljici AB tako, da velja razmerje |AD|:|BD|=|AC|:|BC|.

Točko D imenujemo harmonična konjugiranka točke C glede na A in B. Točke A, B, C in D skupaj tvorijo harmonično štirico. {/lang}

{lang=DE}

Beispiel

Harmonische Teilung. Gegeben sind drei kollineare Punkte A, B und C (d.h. sie liegen auf einer Geraden), wobei C ausserhalb der Strecke AB liege. Bestimme einen Punkt D auf der Strecke AB so, dass das Verhältnis seiner Abstände zu den Punkten A und B jeweils gleich dem Verhältnis der Abstände des Punktes C zu den Punkten A bzw. B ist, das heißt |AD|/|BD|=|AC|/|BC|.

Diese Konstellation wird harmonische Teilung genannt. {/lang}

{lang=EN} Result: To solve the task, we construct the so called complete quadrangle, as shown below. {/lang}

{lang=CZ} Výsledek: K řešení úlohy využijeme konstrukci tzv. úplného čtyřrohu, jak vidíme níže. {/lang}

{lang=SI} Rezultat: Da rešimo problem, najprej konstruiramo tako imenovani popolni štirikotnik, kot je prikazano spodaj. {/lang}

{lang=DE} Resultat: Zur Lösung der Aufgabe konstruieren wir das sogenannte vollständige Viereck, wie unten zu sehen ist. {/lang}

{lang=EN} Programming:

First, we define the bounding box and create two points A and B with the line p passing through them: {/lang}

{lang=CZ} Programování:

Nejprve definujeme parametry nákresny, tj. rozměry okna a rozsah souřadnic, a v ní sestrojíme body A a B spolu s přímkou p, která jimi prochází: {/lang}

{lang=SI} Programiranje:

Najprej definiramo bounding box in ustvarimo točki A in B z premico p, ki poteka skozi njiju. {/lang}

{lang=DE} Programmierung:

Zuerst legen wir die bounding box fest und erzeugen zwei Punkte A und B sowie die Gerade p durch die beiden Punkte: {/lang}

<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:500px; height:400px;"></div>
<script>
 var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-5, 5, 5, -3]});
 var A = board.create('point',[-4,-2]);
 var B = board.create('point',[0,-2]);
 var p = board.create('line',[A,B],{name: 'p',withLabel: true, color: 'green'});
</script>

{lang=EN} Then, we put the point C on p so that it can move along it: {/lang}

{lang=CZ} Potom na přímku p umístíme bod C tak, aby byl po ní volně pohyblivý: {/lang}

{lang=SI} Potem postavimo točko C na premico p tako, da se lahko premika samo vzdolž nje. {/lang}

{lang=DE} Dann legen wir den Punkt C auf die Gerade p, so dass wir ihn nur entlang der Geraden ziehen können. $C$ wird glider genannt. {/lang}

<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:500px; height:400px;"></div>
<script>
 var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-5, 5, 5, -3]});
 var A = board.create('point',[-4,-2]);
 var B = board.create('point',[0,-2]);
 var p = board.create('line',[A,B],{name: 'p',withLabel: true, color: 'green'});
 var C = board.create('glider', [4, 0, p]);
</script>

{lang=EN} Now, we put the fourth point E above the line p and connect it by the straight lines q and r to points A and B, respectively: {/lang}

{lang=CZ} Nyní umístíme čtvrtý bod E nad přímku p a přímkami q a r ho spojíme v daném pořadí postupně s body A a B: {/lang}

{lang=SI} Nato postavimo četrto točko E nad premico p in jo povežemo z črtama q in r do točk A in B. {/lang}

{lang=DE} Nun erzeugen wir einen vierten Punkt E oberhalb der Geraden p an und konstruieren zwei Geraden q und r durch A bzw. B: {/lang}

<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:500px; height:400px;"></div>
<script>
 var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-5, 5, 5, -3]});
 var A = board.create('point',[-4,-2]);
 var B = board.create('point',[0,-2]);
 var p = board.create('line',[A,B],{name: 'p',withLabel: true, color: 'green'});
 var C = board.create('glider', [4, 0, p]);
 var E = board.create('point', [1,4], {name: 'E',size:2, color: 'blue'});
 var q = board.create('line',[A,E],{name: 'q',withLabel: true, color: 'green'});
 var r = board.create('line',[B,E],{name: 'r',withLabel: true, color: 'green'});
</script>

{lang=EN} After this, we put the point F on q, somewhere between A and E, draw a line s passing through points C and F and determine its intersection G with the line r: {/lang}

{lang=CZ} Poté umístíme na přímku q bod F, někam mezi body A a E, sestrojíme přímku s procházející body C a F a určíme její průsečík G s přímkou r: {/lang}

{lang=SI} Za tem določimo točko F na premici q nekje med A in E, narišemo premico s skozi točki C in F in določimo njeno presečišče s premico r. {/lang}

{lang=DE} Danach legen wir einen Punkt F auf die Gerade q (d.h. einen glider) irgendwo zwischen A und E, ziehen eine Gerade s durch C und F und bestimmen ihren den Schnittpunkt G mit der Geraden r: {/lang}

<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:500px; height:400px;"></div>
<script>
 var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-5, 5, 5, -3]});
 var A = board.create('point',[-4,-2]);
 var B = board.create('point',[0,-2]);
 var p = board.create('line',[A,B],{name: 'p',withLabel: true, color: 'green'});
 var C = board.create('glider', [4, 0, p]);
 var E = board.create('point', [1,4], {name: 'E',size:2, color: 'blue'});
 var q = board.create('line',[A,E],{name: 'q',withLabel: true, color: 'green'});
 var r = board.create('line',[B,E],{name: 'r',withLabel: true, color: 'green'});
 var F = board.create('glider', [0,0,q], {name: 'F',size:2, color: 'blue'});
 var s = board.create('line',[C,F],{name: 's',withLabel: true, color: 'green'});
 var G = board.create('intersection', [s, r,0], {name: 'G',size:2, color: 'blue'});
</script>

{lang=EN} Finally, we draw lines t=AG and u=BF, denote H their point of intersection, construct the line v passing points H and E and determine the desired point D as the intersection of lines v and p: {/lang}

{lang=CZ} Nakonec sestrojíme přímky t=AG a u=BF, určíme a označíme H jejich průsečík, sestrojíme přímku v procházející body H a E a určíme hledaný bod D jako průsečík přímek v a p: {/lang}

{lang=SI} Na koncu narišemo črti t=AG in u=BF, s H označimo njuni presečišči, konstruiramo premico v skozi h in E ter s črko D označimo presečišče premic v in p. {/lang}

{lang=DE} Schließlich, erzeugen wir die Geraden t=AG und u=BF, bezeichnen mit H ihren Schnittpunkt, konstruieren die Gerade v durch die Punkte H und E und bestimmen den gewünschten Punkt D als den Schnittpunkt der Geraden v und p: {/lang}

<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:500px; height:400px;"></div>
<script>
 var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-5, 5, 5, -3]});
 var A = board.create('point',[-4,-2]);
 var B = board.create('point',[0,-2]);
 var p = board.create('line',[A,B],{name: 'p',withLabel: true, color: 'green'});
 var C = board.create('glider', [4, 0, p]);
 var E = board.create('point', [1,4], {name: 'E',size:2, color: 'blue'});
 var q = board.create('line',[A,E],{name: 'q',withLabel: true, color: 'green'});
 var r = board.create('line',[B,E],{name: 'r',withLabel: true, color: 'green'});
 var F = board.create('glider', [0,0,q], {name: 'F',size:2, color: 'blue'});
 var s = board.create('line',[C,F],{name: 's',withLabel: true, color: 'green'});
 var G = board.create('intersection', [s, r,0], {name: 'G',size:2, color: 'blue'});
 var t = board.create('line',[A,G],{color: 'grey', dash:"2"});
 var u = board.create('line',[B,F],{color: 'grey', dash:"2"});
 var H = board.create('intersection', [t, u], {name: 'H',size:2, color: 'blue'});
 var v = board.create('line', [E,H],{color: 'grey', dash:"2"});
 var D = board.create('intersection', [p, v, 0]);
</script>