{lang=EN}
Example: Regular polygons
A Hexagon-Triangle Hinge. In the diagram below, Q is the center of a regular hexagon with a vertex B at which it touches an equilateral triangle with center R. Let P be the midpoint of AG. Show that RPQ is a right angle.
(Source: Konhauser, J. D. E., Velleman, D., Wagon, S. Which Way Did the Bicycle Go? … and Other Intriguing Mathematical Mysteries. The Mathematical association of America, Dolciani Mathematical Expositions – No. 18. 1996.) {/lang}
{lang=CZ}
Příklad: Pravidelné mnohoúhelníky
Pravidelný šestiúhelník a rovnostranný trojúhelník se společným vrcholem. Na obrázku níže je bod Q středem pravidelného šestiúhelníku, který svůj vrchol B sdílí s rovnostranným trojúhelníkem, jehož středem je bod R. Středem úsečky AG je bod P. Dokažte, že úhel RPQ je pravý.
(Zdroj: Konhauser, J. D. E., Velleman, D., Wagon, S. Which Way Did the Bicycle Go? … and Other Intriguing Mathematical Mysteries. The Mathematical association of America, Dolciani Mathematical Expositions – No. 18. 1996.) {/lang}
{lang=SI}
Primer: Pravilni n-kotniki
Tečaj iz šestkotnika in trikotnika. V spodnji sliki je Q središče pravilnega 6-kotnika z ogliščem B, v katerem se dotika enakokrakega trikotnika s središčem R. Naj bo P razpolovišče daljice AG. Pokažimo, da je RPQ pravi kot.
(Vir: Konhauser, J. D. E., Velleman, D., Wagon, S. Which Way Did the Bicycle Go? … and Other Intriguing Mathematical Mysteries. The Mathematical association of America, Dolciani Mathematical Expositions – No. 18. 1996.) {/lang}
{lang=DE}
Beispiel: Reguläre Polygone
Ein Sechseck-Dreiecks-Gelenk. In der folgenden Konstruktion sei Q der Mittelpunkt eines regulären Sechsecks, das eine Ecke B besitzt, mit der es ein gleichseitiges Dreieck mit Mittelpunkt R berührt. Zusätzlich sei P der Mittelpunkt der Strecke AG. Zeige, dass RPQ ein rechter Winkel ist.
(Quelle: Konhauser, J. D. E., Velleman, D., Wagon, S. Which Way Did the Bicycle Go? … and Other Intriguing Mathematical Mysteries. The Mathematical association of America, Dolciani Mathematical Expositions – No. 18. 1996.) {/lang}
{lang=EN} The solution to the example, i.e. proving the given statement, is left to the reader. Here we will deal only with the programming of the illustrative dynamic figure. {/lang}{lang=CZ} Řešení příkladu, tj. důkaz uvedeného tvrzení, přenecháváme čtenáři. Zde se budeme věnovat pouze programování dynamického obrázku ilustrujícího daný problém. {/lang}
{lang=SI} Rešitve oziroma pisnega dokaza tukaj ne bomo zapisali, ampak bomo samo demonstrirali, kako sprogramirati dinamično skico iz katere je razvidna resničnost trditve. {/lang}
{lang=DE} Die Lösung der Aufgabe, d.h. der Beweis der Behauptung, sei dem Leser überlassen. Hier wollen wir uns nur mit der Programmierung der erläuternden dynamischen Zeichnung widmen. {/lang}
{lang=EN} Programming:
First, we define the Bounding box as follows: {/lang}
{lang=CZ} Programování:
Nejprve musíme definovat parametry nákresny: {/lang}
{lang=SI} Programiranje:
Najprej definiramo bounding box na naslednji način: {/lang}
{lang=DE} Programmierung:
Zuerst geben wir die bounding box wie folgt an: {/lang}
<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:400px; height:300px;"></div>
<script>
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-4, 3, 4, -3]});
</script>
{lang=EN}
There will be eleven points in the diagram, namely vertices of polygons, their centers and a midpoint.
To set their appearance we use two general options, as follows. First, to get the best possible positions
of their labels, with as few overlaps with image lines as possible, we use the autoPosition = true option (it works in v1.1+):
{/lang}
{lang=CZ}
Obrázek obsahuje celkem jedenáct bodů spolu s jejich popisky, konkrétně se jedná o vrcholy mnohoúhelníků, jejich středy a střed úsečky AG.
Pro nastavení jejich zobrazení použijeme následující dvě obecné volby. Jednak, pro co nejlepší zobrazení popisků bodů, s minimem překryvů
s čarami obrázku, použijeme volbu autoPosition = true (dostupná ve verzi v1.1+):
{/lang}
{lang=SI}
Na skici bo prisotnih 11 točk, ki bodo predstavljale oglišča, presečišča in središča likov. Da bo slika izgledala čim bolj berljivo, nastavimo dve lastnosti.
Lastnost autoPosition = true bo narisala imena točk na ta način, da bo čim manj prekrivanja.
{/lang}
{lang=DE}
In der Zeichnung sind elf Punkte enthalten, nämlich die Ecken der Polygone, deren Mittelpunke und ein Strecken-Mittelpunkt.
Um ihr Aussehen festzulegen, setzen wir zwei Attribute für alle Elemente der Konstruktion.
Wir setzen autoPosition = true. Damit wird das Überlappen von Beschriftungen und
Strecken möglichst zu verhindert (ab Version 1.1.0).
{/lang}
<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:400px; height:300px;"></div>
<script>
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-4, 3, 4, -3]});
board.options.label.autoPosition = true;
</script>
{lang=EN} Then, we set the basic point size to 1: {/lang}
{lang=CZ} Jednak nastavíme základní velikost bodů na 1: {/lang}
{lang=SI} Nato nastavimo osnovno velikost vseh točk na 1: {/lang}
{lang=DE} Ausserdem setzen wir die Standardgröße der Punkte auf den Wert 1: {/lang}
<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:400px; height:300px;"></div>
<script>
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-4, 3, 4, -3]});
board.options.label.autoPosition = true;
board.options.point.size = 1;
</script>
{lang=EN}
Note: In this way we can also set other common attributes of objects in the board,
for example the appearance of points using the command board.options.point.face = '[]'; etc.
{/lang}
{lang=CZ}
Poznámka: Tímto způsebem můžeme nastavit další společné atributy objektů v nákresně,
např. podobu symbolu bodu použitím příkazu board.options.point.face = '[]'; atd.
{/lang}
{lang=SI}
Opomba: Na ta način lahko poenotimo tudi ostale atribute enakih objektov, naprimer izgled točk z ukazom board.options.point.face = '[]'; ipd.
{/lang}
{lang=DE}
Hinweis: Auf diese Weise können auch andere Attribute für die gesamte Konstruktion vorbelegt werden, zum Beispiel
das Erscheinungsbild von Punkten mit dem Befehl board.options.point.face = '[]'; etc.
{/lang}
{lang=EN}
To obtain the regular hexagon we first construct points A and B, its future two adjacent vertices,
and then color them orange to highlight them as movers:
{/lang}
{lang=CZ} Pro konstrukci pravidelného šestiúhelníku nejprve sestrojíme body A a B, jeho budoucí sousedící vrcholy, a obarvíme je oranžově, pro zdůraznění toho, že se jedná o volné body: {/lang}
{lang=SI} Za konstrukcijo pravilnega 6-kotnika najprej ustvarimo točki A in B in ju pobarvamo oranžno, da ju označimo kot točki, ki ju je možno premikati: {/lang}
{lang=DE} Um ein reguläres Sechseck anzulegen, konstruieren wir zuerst die Punkte A und B als zwei nebeneinanderliegende Ecken des künftigen Sechsecks und färben diese orange um sie als beweglich / ziehbar zu markieren: {/lang}
<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:400px; height:300px;"></div>
<script>
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-4, 3, 4, -3]});
board.options.label.autoPosition = true;
board.options.point.size = 1;
var A = board.create('point' , [-1.2,-2], {color: 'orange' , size: 4 });
var B = board.create('point', [0.25,-0.5], {color: 'orange' , size: 4 });
</script>
{lang=EN}
Then, using these points as the input parameters to the regularpolygon object,
we create the desired hexagon:
{/lang}
{lang=CZ} Poté použijeme tyto body jako vstupní parametry objektu regularpolygon pro vytvoření požadovaného šestiúhelníku: {/lang}
{lang=SI} Nato uporabimo ti točki kot vhodna parametra za konstrukcijo objekta pravilni n-kotnik: {/lang}
{lang=DE}
Wir verwenden nun diese Punkte als Eingabeparameter für das regularpolygon-Objekt,
um das gewünschte reguläre Sechseck anzulegen:
{/lang}
<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:400px; height:300px;"></div>
<script>
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-4, 3, 4, -3]});
board.options.label.autoPosition = true;
board.options.point.size = 1;
var A = board.create('point' , [-1.2,-2], {color: 'orange' , size: 4 });
var B = board.create('point', [0.25,-0.5], {color: 'orange' , size: 4 });
var hexagon = board.create('regularpolygon', [A,B, 6]);
</script>
{lang=EN}
The center of the regular polygon is the center of its circumcircle, therefore we have to identify at least three vertices of the hexagon to determine its center.
We chose D, the fourth vertex from A (index number is 3 because the software starts to count from 0)
{/lang}
{lang=CZ}
Střed pravidelného šestiúhelníku je zároveň středem jemu opsané kružnice. Pro jeho určení proto potřebujeme
identifikovat alespoň tři vrcholy šestiúhelníku.
K vrcholům A a B přidáme ještě bod D, v pořadí čtvrtý vrchol od A
(protože program začíná indexovat od 0, je indexem tohoto vrcholu číslo 3)
{/lang}
{lang=SI} Središče pravilnega n-kotnika je enako središču njegove očrtane krožnice, zato moramo določiti tri oglišča 6-kotnika. Poleg A in B smo izbrali še oglišče D, to je četrto oglišče od oglišča A (indeks tega oglišča ni 4, ampak 3, saj se štetje seznamov začne pri 0). {/lang}
{lang=DE} Der Mittelpunkt des regulären Polygons ist der Mittelpunkt des Umkreises. Wir müssen daher auf mindestens drei Ecken des Sechsecks zugreifen um seinen Mittelpunkt bestimmen zu können. Wir wählen D, die vierte Ecke von A aus (diese Ecke hat den Index 3, weil die Software bei 0 zu zählen beginnt), {/lang}
<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:400px; height:300px;"></div>
<script>
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-4, 3, 4, -3]});
board.options.label.autoPosition = true;
board.options.point.size = 1;
var A = board.create('point' , [-1.2,-2], {color: 'orange' , size: 4 });
var B = board.create('point', [0.25,-0.5], {color: 'orange' , size: 4 });
var hexagon = board.create('regularpolygon', [A,B, 6]);
var D = hexagon.vertices[3];
</script>
{lang=EN}
to determine the center Q of the regular hexagon as the center of the circumcircle to the triangle ABD:
{/lang}
{lang=CZ}
pro určení středu pravidelného šestiúhelníku Q jako středu kružnice opsané trojúhelníku ABD:
{/lang}
{lang=SI}
Zdaj lahko z ukazom circumcenter določimo središče krožnice skozi oglišča A, B in D.
{/lang}
{lang=DE} um den Mittelpunkt Q des regulären Sechsecks als Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks ABD zu bestimmen: {/lang}
<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:400px; height:300px;"></div>
<script>
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-4, 3, 4, -3]});
board.options.label.autoPosition = true;
board.options.point.size = 1;
var A = board.create('point' , [-1.2,-2], {color: 'orange' , size: 4 });
var B = board.create('point', [0.25,-0.5], {color: 'orange' , size: 4 });
var hexagon = board.create('regularpolygon', [A,B, 6]);
var D = hexagon.vertices[3];
var Q = board.create('circumcenter', [A, B, D], {name:'Q'});
</script>
{lang=EN}
In an analogous way, we then create an equilateral triangle BGH with center R:
{/lang}
{lang=CZ}
Analogicky sestrojíme rovnostranný trojúhelník BGH se středem R:
{/lang}
{lang=SI} Analogno konstruiramo pravilni trikotnik BGH s središčem R: {/lang}
{lang=DE} Genauso können wir das gleichseitige Dreieck BGH mit Mittelpunkt R konstruieren: {/lang}
<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:400px; height:300px;"></div>
<script>
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-4, 3, 4, -3]});
board.options.label.autoPosition = true;
board.options.point.size = 1;
var A = board.create('point' , [-1.2,-2], {color: 'orange' , size: 4 });
var B = board.create('point', [0.25,-0.5], {color: 'orange' , size: 4 });
var hexagon = board.create('regularpolygon', [A,B, 6]);
var D = hexagon.vertices[3];
var Q = board.create('circumcenter', [A, B, D], {name:'Q'});
var G = board.create('point', [3,-2], {name: 'G', color: 'orange' , size: 4 });
var rtr = board.create('regularpolygon', [B, G, 3]);
var H = rtr.vertices[2];
var R = board.create('circumcenter', [B, G, H], {name: 'R'});
</script>
{lang=EN}
Then, we add the triangle AGB, the midpoint P of its side AB and the lines PQ and PR,
which we have to prove are always perpendicular:
{/lang}
{lang=CZ} Nakonec doplníme trojúhelník AGB, střed jeho strany AB bod P a přímky PQ a PR, jejichž kolmost je předmětem důkazu: {/lang}
{lang=SI} Potem konstruiramo trikotnik AGB, razpolovišče P daljice AB in premici PQ ter PR, za kateri moramo pokazati, da sta med seboj pravokotni:
{/lang}
{lang=DE} Dann legen wir das Dreieck AGB, den Mittelpunkt P seiner Seite AB und die Geraden PQ und PR an, für die zu beweisen ist, dass sie immer aufeinander senkrecht stehen. {/lang}
<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:400px; height:300px;"></div>
<script>
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-4, 3, 4, -3]});
board.options.label.autoPosition = true;
board.options.point.size = 1;
var A = board.create('point' , [-1.2,-2], {color: 'orange' , size: 4 });
var B = board.create('point', [0.25,-0.5], {color: 'orange' , size: 4 });
var hexagon = board.create('regularpolygon', [A,B, 6]);
var D = hexagon.vertices[3];
var Q = board.create('circumcenter', [A, B, D], {name:'Q'});
var G = board.create('point', [3,-2], {name: 'G', color: 'orange' , size: 4 });
var rtr = board.create('regularpolygon', [B, G, 3]);
var H = rtr.vertices[2];
var R = board.create('circumcenter', [B, G, H], {name: 'R'});
var tr = board.create('polygon', [A, G, B], {color: 'pink'});
var P = board.create('midpoint', [A, G], {name: 'P'});
var q = board.create('line', [P, Q], {name: 'q', withLabel: true});
var r = board.create('line', [P, R], {name: 'r', withLabel: true});
</script>
{lang=EN}
Finally, we can identify the angle RPQ, the rightness of which we have to prove.
JSXGraph recognizes it as a right angle, so it marks it accordingly, as can be seen in figure above:
{/lang}
{lang=CZ}
Nakonec můžeme zobrazit předmětný úhel RPQ. JSXGraph ho identifikuje jako pravý úhel a proto ho příslušným způsobem označí,
jak vidíme na obrázku výše:
{/lang}
{lang=SI} Na koncu moramo samo še identificirati kot RPQ, za katerega JSXGraph prepozna, da je pravi in ga na ustrezen način označi (glej sliko zgoraj): {/lang}
{lang=DE} Schließlich zeichnen wir den Winkel RPQ, für den zu zeigen ist, dass es sich immer um einen rechten Winkel handelt. JSXGraph erkennt ihn als rechten Winkel, deshalb wird er dementsprechend mit einem kleinen Quadrat kennzeichnet, wie in der obigen Zeichnung zu sehen ist. {/lang}
<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:400px; height:300px;"></div>
<script>
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-4, 3, 4, -3]});
board.options.label.autoPosition = true;
board.options.point.size = 1;
var A = board.create('point' , [-1.2,-2], {color: 'orange' , size: 4 });
var B = board.create('point', [0.25,-0.5], {color: 'orange' , size: 4 });
var hexagon = board.create('regularpolygon', [A,B, 6]);
var D = hexagon.vertices[3];
var Q = board.create('circumcenter', [A, B, D], {name:'Q'});
var G = board.create('point', [3,-2], {name: 'G', color: 'orange' , size: 4 });
var rtr = board.create('regularpolygon', [B, G, 3]);
var H = rtr.vertices[2];
var R = board.create('circumcenter', [B, G, H], {name: 'R'});
var tr = board.create('polygon', [A, G, B], {color: 'pink'});
var P = board.create('midpoint', [A, G], {name: 'P'});
var q = board.create('line', [P, Q], {name: 'q', withLabel: true});
var r = board.create('line', [P, R], {name: 'r', withLabel: true});
var angle = board.create('angle', [R, P, Q], {radius: 0.4, color: 'red', fillOpacity: 0 , name:'ϕ' });
</script>
{lang=EN} If this symbolic expression of the right angle is not enough for us, we can enter the code to display the size of the respective angle: {/lang}
{lang=CZ}
Pokud nám takovéto symbolické vyznačení pravého úhlu nepostačuje, můžeme použít následující kód pro zobrazení
číselné hodnoty jeho velikosti:
{/lang}
{lang=SI}
Če nismo zadovoljni s simbolično predstavitvijo pravega kota, lahko zapišemo njegovo velikost še v stopinjah:
{/lang}
{lang=DE} Falls die symbolische Kennzeichnung des rechten Winkels noch nicht deutlich genug ist, können wir noch den Wert des Winkels auszugeben: {/lang}
<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:400px; height:300px;"></div>
<script>
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-4, 3, 4, -3]});
board.options.label.autoPosition = true;
board.options.point.size = 1;
var A = board.create('point' , [-1.2,-2], {color: 'orange' , size: 4 });
var B = board.create('point', [0.25,-0.5], {color: 'orange' , size: 4 });
var hexagon = board.create('regularpolygon', [A,B, 6]);
var D = hexagon.vertices[3];
var Q = board.create('circumcenter', [A, B, D], {name:'Q'});
var G = board.create('point', [3,-2], {name: 'G', color: 'orange' , size: 4 });
var rtr = board.create('regularpolygon', [B, G, 3]);
var H = rtr.vertices[2];
var R = board.create('circumcenter', [B, G, H], {name: 'R'});
var tr = board.create('polygon', [A, G, B], {color: 'pink'});
var P = board.create('midpoint', [A, G], {name: 'P'});
var q = board.create('line', [P, Q], {name: 'q', withLabel: true});
var r = board.create('line', [P, R], {name: 'r', withLabel: true});
var angle = board.create('angle', [R, P, Q], {radius: 0.4, color: 'red', fillOpacity: 0 , name:'ϕ' });
board.create('text', [-3, -3,
function () {return 'θ_1 = ' + (arc2.Value() * 180 /Math.PI).toFixed(1) + '°';}
]);
</script>
{lang=EN} The task solution code is now complete. {/lang}
{lang=CZ} Kód uvedeného dynamického obrázku je nyní kompletní. {/lang}
{lang=SI} Koda rešitve je s tem zaključena. {/lang}
{lang=DE} Damit ist die Zeichnung fertiggestellt. {/lang}